Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d t} = \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d v = (\frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d v = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$v + C_{1} = \int \frac{9}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 9 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ по $t$ имеет вид $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 9 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$v + C_{1} = 9 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$v = 9 \arctan (t) + \tan (t) + K$