Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} d y}{d x} + x y = 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d x}$ на множители.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 1$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 1$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.6

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{1}{x \cdot x}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{1}{x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$x y = \ln (| x |) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x y = \ln (| x |) + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x y = \ln (| x |) + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$