Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x - 1$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Этап 1.5

Избавимся от скобок.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Этап 1.6

Перенесем $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x - 1$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x - 1 d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int x - 1 d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{2} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Этап 5.4

Упростим.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Этап 6

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $x^{2} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2

Разделим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{2} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$