Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x^{2}$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} d x$

Этап 1.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Упростим.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.5.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{12} x^{4} + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = \frac{1}{12} x^{4} + C x + D$