Математический анализ Примеры

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 25 y = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$y'' + 25 y = 0$

Этап 2

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A \sin (5 x) + B \cos (5 x))$

Этап 2.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [A \sin (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Поскольку $A$ является константой относительно $x$ , производная $A \sin (5 x)$ по $x$ равна $A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$A \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$A (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$A (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$A (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$A (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.5

Умножим $5$ на $1$ .

$A (\cos (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.6

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$A (5 \cdot \cos (5 x)) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.2.7

Перенесем $5$ влево от $A$ .

$5 A \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [B \cos (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $B$ является константой относительно $x$ , производная $B \cos (5 x)$ по $x$ равна $B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$5 A \cos (5 x) + B \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Этап 2.3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.3.3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.3.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 2.3.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- \sin (5 x) \cdot 5)$

Этап 2.3.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 A \cos (5 x) + B (- 5 \sin (5 x))$

Этап 2.3.4

Изменим порядок членов.

$5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$

Этап 3

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $5 A \cos (5 x) - 5 B \sin (5 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 A \cos (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $5 A$ является константой относительно $x$ , производная $5 A \cos (5 x)$ по $x$ равна $5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$y'' = 5 A \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$y'' = 5 A (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$y'' = 5 A (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$y'' = 5 A (- \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$y'' = 5 A (- 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.3.7

Умножим $- 5$ на $5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) + \frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 B \sin (5 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 5 B$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 B \sin (5 x)$ по $x$ равна $- 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.4.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.4.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 3.4.5

Умножим $5$ на $1$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (\cos (5 x) \cdot 5)$

Этап 3.4.6

Перенесем $5$ влево от $\cos (5 x)$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 5 B (5 \cos (5 x))$

Этап 3.4.7

Умножим $5$ на $- 5$ .

$y'' = - 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x)$

Этап 4

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 (A \sin (5 x) + B \cos (5 x)) = 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $- 25 A \sin (5 x) - 25 B \cos (5 x) + 25 A \sin (5 x) + 25 B \cos (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $- 25 A \sin (5 x)$ и $25 A \sin (5 x)$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 0 + 25 B \cos (5 x) = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $- 25 B \cos (5 x)$ и $0$ .

$- 25 B \cos (5 x) + 25 B \cos (5 x) = 0$

Этап 5.2.3

Добавим $- 25 B \cos (5 x)$ и $25 B \cos (5 x)$ .

$0 = 0$

Этап 6

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = A \sin (5 x) + B \cos (5 x)$ является решением уравнения $y'' + 25 y = 0$