Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$ и $y (e) = - 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $e$ вместо $x$ и $- 2$ вместо $y$ в $y = \ln (| x |) + C$ .

$- 2 = \ln (| e |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (| e |) + C = - 2$ .

$\ln (| e |) + C = - 2$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (e) + C = - 2$

Этап 4.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$1 + C = - 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$C = - 2 - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$C = - 3$

Этап 5

Подставим $- 3$ вместо $C$ в $y = \ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3$ вместо $C$ .

$y = \ln (| x |) - 3$