Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$ , $y (0) = - 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{y \cdot 2}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + \sec (x) \tan (x)}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 x + \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int x d x + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \sec (x) \tan (x) d x)$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \sec (x) + C_{3})$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} (x^{2} + \sec (x)) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec (x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec (x)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec (x)}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{\sec (x)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x^{2} + \sec (x) + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$

Этап 5

Так как $y$ принимает отрицательные значения при начальном условии $(0, - 3)$ , рассмотрим $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $- 3$ вместо $y$ .

$- 3 = - \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$ .

$- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K} = - 3$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{0^{2} + \sec (0) + K})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0^{2} + \sec (0) + K}$ в виде ${(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${(- {(0^{2} + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(- {(0 + \sec (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

${(- {(0 + 1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

${(- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2

Применим правило умножения к $- {(1 + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.4

Умножим ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.5

Перемножим экспоненты в ${({(1 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Упростим.

$1 + K = {(- 3)}^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$1 + K = 9$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = 9 - 1$

Этап 6.4.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$K = 8$

Этап 7

Подставим $8$ вместо $K$ в $y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $8$ вместо $K$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + \sec (x) + 8}$