Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{t + 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{t + 1}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{t + 1} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = t + 1$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = t + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $t + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| t + 1 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| t + 1 |) + C$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\ln (| t + 1 |) + C)$