Математический анализ Примеры

$y'''' + 2 y = 3 e^{t}$ with $y (0) = 3$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{2 t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} (3 e^{t})$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} (3 e^{t})$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 2.4

Умножим $e^{2 t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $e^{t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 (e^{t} e^{2 t})$

Этап 2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{t + 2 t}$

Этап 2.4.3

Добавим $t$ и $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$

Этап 2.5

Изменим порядок множителей в $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 3 e^{3 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 3 e^{3 t}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 3 e^{3 t}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 3 e^{3 t} d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{2 t} y = \int 3 e^{3 t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{2 t} y = 3 \int e^{3 t} d t$

Этап 6.2

Пусть $u = 3 t$ . Тогда $d u = 3 d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = 3 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 6.2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{2 t} y = 3 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 6.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{2 t} y = 3 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{2 t} y = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 t} y = \frac{3}{3} \int e^{u} d u$

Этап 6.5.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 t} y = 1 \int e^{u} d u$

Этап 6.5.3

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} d u$

Этап 6.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = e^{u} + C$

Этап 6.7

Заменим все вхождения $u$ на $3 t$ .

$e^{2 t} y = e^{3 t} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ на $e^{2 t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{2 t} y = e^{3 t} + C$ на $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{3 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{3 t}$ и $e^{2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вынесем множитель $e^{2 t}$ из $e^{3 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{2 t} e^{t}}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{e^{t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 7.3.1.2.4

Разделим $e^{t}$ на $1$ .

$y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $t$ и $3$ вместо $y$ в $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$3 = e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 3$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Этап 9.2.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 3$

Этап 9.2.3

Разделим $C$ на $1$ .

$1 + C = 3$

Этап 9.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$C = 3 - 1$

Этап 9.3.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$C = 2$

Этап 10

Подставим $2$ вместо $C$ в $y = e^{t} + \frac{C}{e^{2 t}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $2$ вместо $C$ .

$y = e^{t} + \frac{2}{e^{2 t}}$