Математический анализ Примеры

$6 y^{2} d x = 9 x y d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$9 x y d y = 6 y^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y^{2}} (9 x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \frac{1}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Этап 3.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{x y^{2}} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x y$ из $x y^{2}$ .

$\frac{9}{x y (y)} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{x y \cdot y} (x y) d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{y} d y = \frac{1}{x y^{2}} (6 y^{2}) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9}{y} d y = 6 \frac{1}{x y^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.5

Объединим $6$ и $\frac{1}{x y^{2}}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x y^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{y^{2} x} y^{2} d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{y} d y = \frac{6}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{9}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$9 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$9 \ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$9 \ln (| y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $9 \ln (| y |) - 6 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $9 \ln (| y |)$ путем переноса $9$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{9}) - 6 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим $- 6 \ln (| x |)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Этап 5.2.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{6}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| y |}^{9}) - \ln (x^{6}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{9}}{x^{6}}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Умножим обе части на $x^{6}$ .

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

Этап 5.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| y |}^{9}}{x^{6}} x^{6} = e^{C} x^{6}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

${| y |}^{9} = e^{C} x^{6}$

Этап 5.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} x^{6}$ .

${| y |}^{9} = x^{6} e^{C}$

Этап 5.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| y | = \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

Этап 5.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} e^{C}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt[9]{x^{6} C}$