Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) d y = y d x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Этап 2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 3.3.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (x) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (x) + C}$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (| y |) = \arctan (x) + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (x) + C} = | y |$

Этап 4.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\arctan (x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (x) + C}$

Этап 4.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (x) + C}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $e^{\arctan (x) + C}$ в виде $e^{\arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C}$

Этап 5.2

Изменим порядок $e^{\arctan (x)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)}$

Этап 5.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\arctan (x)}$