Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = \frac{2 x}{t}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x}{t}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x \cdot 2}{t}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x \cdot 2}{t}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{2}{t}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x} d x = \frac{2}{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| x |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| x |) = 2 \ln (| t |) + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| x |) - 2 \ln (| t |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| x |) - 2 \ln (| t |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| t |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| x |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| t |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| x |) - \ln (t^{2}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{t^{2}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| x |}{t^{2}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| x |}{t^{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| x |}{t^{2}}$

Этап 3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| x |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| x |}{t^{2}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $t^{2}$ .

$\frac{| x |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| x |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Этап 3.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| x | = e^{C} t^{2}$

Этап 3.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} t^{2}$ .

$| x | = t^{2} e^{C}$

Этап 3.5.4

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm t^{2} e^{C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \pm t^{2} C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$x = C t^{2}$