Математический анализ Примеры

$(x y^{2} + x - 2 y + 3) d x + (x^{2} y - 2 x - 2 y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y^{2} + x - 2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x - 2 y + 3]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x y^{2} + x - 2 y + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y^{2}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.5.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.6

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 0 - 2 + 0$

Этап 1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $2 x y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2 + 0$

Этап 1.7.2

Добавим $2 x y - 2$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 2$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y - 2 x - 2 y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} y - 2 x - 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.3.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Этап 2.5

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2 + 0$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 y x - 2$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 2$

Этап 2.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 2$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x y - 2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x y - 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x y - 2 = 2 x y - 2$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y - 2 x - 2 y d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2} y - 2 x - 2 y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{2} y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Этап 5.2

Поскольку $x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 x d y + \int - 2 y d y$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C + \int - 2 y d y$

Этап 5.6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 \int y d y$

Этап 5.7

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 5.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 x y + C - 2 (\frac{y^{2}}{2} + C)$

Этап 5.9

Упростим.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Этап 5.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Объединим $- 2$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Этап 5.10.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Этап 5.10.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 5.10.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 5.10.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Этап 5.10.2.2.4

Разделим $- y^{2}$ на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Этап 5.11

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3.3

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3.5

Объединим $2$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3.6

Объединим $\frac{2 y^{2}}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.3.7.2

Разделим $y^{2} x$ на $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{2} x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.5

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.6

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Добавим $y^{2} x - 2 y$ и $0$ .

$y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 8.7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x$

Этап 9.1.2

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $x y^{2} + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $x y^{2}$ и $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + x - 2 y + 3 - y^{2} x + 2 y$

Этап 9.1.3.2

Вычтем $y^{2} x$ из $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Этап 9.1.3.3

Добавим $x - 2 y + 3$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 3 + 2 y$

Этап 9.1.3.4

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0 + 3$

Этап 9.1.3.5

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 3$

Этап 10

Найдем первообразную $x + 3$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x + 3 d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x + 3 d x$

Этап 10.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x d x + \int 3 d x$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 3 d x$

Этап 10.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C$

Этап 10.6

Упростим.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Этап 12.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + C$

Этап 12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y - y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C$