Математический анализ Примеры

$2 x (x - 3 y) d y = - y (8 x - 9 y) d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y (8 x - 9 y) d x$ к обеим частям уравнения.

$2 x (x - 3 y) d y + y (8 x - 9 y) d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y (8 x - 9 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (8 x - 9 y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 8 x - 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [8 x - 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $8 x - 9 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2

Поскольку $8 x$ является константой относительно $y$ , производная $8 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- 9 y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- 9 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- 9 y] + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $y$ , производная $- 9 y$ по $y$ равна $- 9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \frac{d}{d y} [y]) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 9 \cdot 1) + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot - 9 + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $- 9$ влево от $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 \cdot y + (8 x - 9 y) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + (8 x - 9 y) \cdot 1$

Этап 2.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Умножим $8 x - 9 y$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 9 y + 8 x - 9 y$

Этап 2.3.8.2

Вычтем $9 y$ из $- 9 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 x - 18 y$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 x (x - 3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x (x - 3 y)]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x (x - 3 y)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x (x - 3 y)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 3 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \frac{d}{d x} [x - 3 y] + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $x - 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Поскольку $- 3 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x (1 + 0) + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x \cdot 1 + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + (x - 3 y) \cdot 1)$

Этап 3.4.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $x - 3 y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x + x - 3 y)$

Этап 3.4.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x - 3 y)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + 2 (- 3 y)$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 (- 3 y)$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x - 6 y$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $8 x - 18 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $4 x - 6 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$8 x - 18 y = 4 x - 6 y$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $8 x - 18 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x - 18 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $4 x - 6 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{N}$

Этап 5.3

Подставим $2 x (x - 3 y)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $2 x (x - 3 y)$ вместо $N$ .

$\frac{8 x - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель $8 x - 18 y - (4 x - 6 y)$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x$ .

$\frac{- (- 8 x) - 18 y - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 18 y$ .

$\frac{- (- 8 x) - (18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 8 x) - (18 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 8 x + 18 y) - (4 x - 6 y)$ .

$\frac{- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.5

Перепишем $- (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ в виде $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)}{2 x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.6

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 8 x + 18 y + 4 x - 6 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.2.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x - 3 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Этап 5.3.2.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y))}{2 (x (x - 3 y))}$

Этап 5.3.2.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (- 4 x + 9 y + 2 x - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 4 x$ и $2 x$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 9 y - 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $3 y$ из $9 y$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 6 y)}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $6 y$ .

$\frac{- 1 (2 (- x) + 2 (3 y))}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (3 y)$ .

$\frac{- 1 (2 (- x + 3 y))}{x (x - 3 y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 (- x + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $- x + 3 y$ и $x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- 2 (- (x) + 3 y)}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $3 y$ .

$\frac{- 2 (- (x) - (- 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.4.4

Перепишем $- (x - 3 y)$ в виде $- 1 (x - 3 y)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 3 y))}{x (x - 3 y)}$

Этап 5.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 5.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Этап 6.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Этап 6.4.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y (8 x - 9 y) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y (8 x - 9 y)$ на $x^{2}$ .

$y (8 x - 9 y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(y (8 x) + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(8 y x + y (- 9 y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(8 y x - 9 y \cdot y) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $y$ .

$(8 y x - 9 (y \cdot y)) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$(8 y x - 9 y^{2}) x^{2} d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 y x \cdot x^{2} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(8 y (x^{2} x) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(8 y (x^{2} x^{1}) - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(8 y x^{2 + 1} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.8

Умножим $2 x (x - 3 y)$ на $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x (x - 3 y) x^{2} d y = 0$

Этап 7.9

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x) (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 (x^{2} x^{1}) (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{2 + 1} (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + 2 x^{3} (x - 3 y) d y = 0$

Этап 7.10

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{3} x + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Этап 7.11

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Перенесем $x$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Этап 7.11.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Этап 7.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Этап 7.11.3

Добавим $1$ и $3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 x^{3} (- 3 y)) d y = 0$

Этап 7.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} + 2 \cdot - 3 x^{3} y) d y = 0$

Этап 7.13

Умножим $2$ на $- 3$ .

$(8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}) d x + (2 x^{4} - 6 x^{3} y) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = 8 y x^{3} - 9 y^{2} x^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 8 y x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Этап 9.2

Поскольку $8 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 8 y \int x^{3} d x + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Этап 9.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 9 y^{2} x^{2} d x$

Этап 9.4

Поскольку $- 9 y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 9 y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} \int x^{2} d x$

Этап 9.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 8 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9.6

Упростим.

$f (x, y) = 8 \cdot \frac{1}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{8}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.7.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{2}{1} y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.7.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 9.7.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 9 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 9.7.4

Объединим $- 9$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} \frac{- 9 x^{3}}{3} + C$

Этап 9.7.5

Объединим $y^{2}$ и $\frac{- 9 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 9 x^{3})}{3} + C$

Этап 9.7.6

Сократим общий множитель $- 9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.6.1

Вынесем множитель $3$ из $y^{2} (- 9 x^{3})$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3} + C$

Этап 9.7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 (1)} + C$

Этап 9.7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{3 (y^{2} (- 3 x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Этап 9.7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 2 y x^{4} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{1} + C$

Этап 9.7.6.2.4

Разделим $y^{2} (- 3 x^{3})$ на $1$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y x^{4}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $2 x^{4}$ является константой относительно $y$ , производная $2 y x^{4}$ по $y$ равна $2 x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{2} (- 3 x^{3})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Поскольку $- 3 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $y^{2} (- 3 x^{3})$ по $y$ равна $- 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.4.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{4} - 6 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 12.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{4} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $2 x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{3} y = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4}$

Этап 13.1.2

Добавим $6 x^{3} y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$

Этап 13.1.3

Объединим противоположные члены в $2 x^{4} - 6 x^{3} y - 2 x^{4} + 6 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Вычтем $2 x^{4}$ из $2 x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 0 + 6 x^{3} y$

Этап 13.1.3.2

Добавим $- 6 x^{3} y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 6 x^{3} y + 6 x^{3} y$

Этап 13.1.3.3

Добавим $- 6 x^{3} y$ и $6 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 14

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 14.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 14.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y x^{4} + y^{2} (- 3 x^{3}) + C$

Этап 16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = 2 y x^{4} - 3 y^{2} x^{3} + C$