Математический анализ Примеры

$y \frac{d y}{d x} = x e^{- y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (x e^{- y^{2}})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{- y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $e^{- y^{2}}$ из $x e^{- y^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{e^{- y^{2}}} (e^{- y^{2}} x)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} (y \frac{d y}{d x}) = x$

Этап 1.3

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y^{2}}} y d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{e^{- y^{2}}}$ и $y$ .

$\int \frac{y}{e^{- y^{2}}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y^{2}}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int y {(e^{- y^{2}})}^{- 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y^{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{- y^{2} \cdot - 1} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2.2

Умножим $- y^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int y e^{1 y^{2}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.1.2.2.2.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\int y e^{y^{2}} d y = \int x d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u = y^{2}$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = y^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int x d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} e^{y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} e^{y^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{y^{2}}$ .

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{e^{y^{2}}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{y^{2}} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{y^{2}} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e^{y^{2}} = x^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y^{2}}) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{y^{2}})$ , вынося $y^{2}$ из логарифма.

$y^{2} \ln (e) = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y^{2} \cdot 1 = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.4.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \ln (x^{2} + 2 K)$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + 2 K)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{\ln (x^{2} + K)}$