Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(15 x^{2} - 6)}^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int {(15 x^{2} - 6)}^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(15 x^{2} - 6)}^{2}$ в виде $(15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6)$ .

$y + C_{1} = \int (15 x^{2} - 6) (15 x^{2} - 6) d x$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2} - 6) - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2} - 6) d x$

Этап 2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int 15 x^{2} (15 x^{2}) + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.5

Перенесем $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} \cdot - 6 - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.6

Перенесем $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 15 \cdot 15 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 (15 x^{2}) - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.7

Умножим $15$ на $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{2} x^{2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int 225 x^{2 + 2} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.9

Добавим $2$ и $2$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} + 15 \cdot - 6 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.10

Умножим $15$ на $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 6 \cdot 15 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.11

Умножим $- 6$ на $15$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} - 6 \cdot - 6 d x$

Этап 2.3.1.12

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 90 x^{2} - 90 x^{2} + 36 d x$

Этап 2.3.1.13

Вычтем $90 x^{2}$ из $- 90 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} - 180 x^{2} + 36 d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 225 x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $225$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $225$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 225 \int x^{4} d x + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 180 x^{2} d x + \int 36 d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 180$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 180$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 \int x^{2} d x + \int 36 d x$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 36 d x$

Этап 2.3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 225 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Этап 2.3.8.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 225 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 180 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 36 x + C_{4}$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

$y + C_{1} = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 45 x^{5} - 60 x^{3} + 36 x + K$