Математический анализ Примеры

$y' \ln (| y |) = e^{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ на $\ln (| y |)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \ln (| y |) = e^{x}$ на $\ln (| y |)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Этап 2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $\ln (| y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Этап 2.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Этап 2.2

Умножим обе части на $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\ln (| y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = \ln (| y |) \frac{e^{x}}{\ln (| y |)}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Этап 2.4

Перепишем уравнение.

$\ln (| y |) d y = e^{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \ln (| y |) d y = \int e^{x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (| y |)$ и $d v = 1$ .

$\ln (| y |) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $y$ и $\frac{1}{y}$ .

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) y - \int \frac{y}{y} d y = \int e^{x} d x$

Этап 3.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) y - \int d y = \int e^{x} d x$

Этап 3.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) y - (y + C_{1}) = \int e^{x} d x$

Этап 3.2.4

Упростим.

$\ln (| y |) y - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Этап 3.2.5

Изменим порядок членов.

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = \int e^{x} d x$

Этап 3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y \ln (| y |) - y + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y \ln (| y |) - y = e^{x} + C$