Математический анализ Примеры

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + \ln (y)) d x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{1 + \ln (y)}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $1 + \ln (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ в числитель.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $1 + \ln (y)$ из $x (1 + \ln (y))$ .

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = \ln (y)$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , следовательно $y d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = \ln (y)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 4.2.1.1.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 4.2.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 4.2.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

Этап 5.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

Этап 5.5.2

Изменим порядок множителей в $\ln (| x + \ln (y) x |)$ .

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

Этап 5.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ .

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

Этап 5.8.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

Этап 5.8.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

Этап 5.8.2.3

Разделим каждый член $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.3.1

Разделим каждый член $x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ на $x$ .

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 5.8.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 5.8.2.3.2.1.2

Разделим $\ln (y)$ на $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 5.8.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 5.8.2.3.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Этап 5.8.2.4

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Этап 5.8.2.5

Перепишем $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

Этап 5.8.2.6

Перепишем уравнение в виде $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$