Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d x} + 10 y = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $10 y$ из обеих частей уравнения.

$2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = 1 - 10 y$ на $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 10 y}{2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (1)}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{2 (- 5 y)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} + \frac{- 5 y}{1}$

Этап 1.1.2.3.1.2.4

Разделим $- 5 y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} - 5 y$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\frac{1}{2} - 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} (\frac{1}{2} - 5 y)$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} - 5 y} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = \frac{1}{2} - 5 y$ . Тогда $d u = - 5 d y$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = \frac{1}{2} - 5 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{2} - 5 y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} - 5 y]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} - 5 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 5 y]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5 y$ по $y$ равна $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 5} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{5}) d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 5} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.3

Перенесем $5$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{5 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{2} - 5 y$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $- 5$ .

$- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)) = - 5 (x + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 5 (- \frac{1}{5} \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 5 (- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}) = - 5 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5}$ в числитель.

$- 5 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot - 1 \frac{- \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)}{5} = - 5 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)$ на $1$ .

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 (x + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |)} = e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| \frac{1}{2} - 5 y |) = - 5 x - 5 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 5 x - 5 C} = | \frac{1}{2} - 5 y |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$ .

$| \frac{1}{2} - 5 y | = e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$\frac{1}{2} - 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 5 y = \pm e^{- 5 x - 5 C} - \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Чтобы записать $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 5 y = (\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4.2

Объединим $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 3.5.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 3.5.5

Разделим каждый член $- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Разделим каждый член $- 5 y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Этап 3.5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Этап 3.5.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2}}{- 5}$

Этап 3.5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{(\pm e^{- 5 x - 5 C}) \cdot 2 - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

Этап 3.5.5.3.2

Перенесем $2$ влево от $\pm e^{- 5 x - 5 C}$ .

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} \cdot \frac{1}{- 5}$

Этап 3.5.5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$

Этап 3.5.5.3.4

Умножим $\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2} (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.3.4.1

Умножим $\frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2}$ на $\frac{1}{5}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{2 \cdot 5}$

Этап 3.5.5.3.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x - 5 C}) - 1}{10}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x + C}) - 1}{10}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- 5 x + C}$ в виде $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{- 5 x} e^{C}) - 1}{10}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- 5 x}$ и $e^{C}$ .

$y = - \frac{2 (\pm e^{C} e^{- 5 x}) - 1}{10}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - \frac{2 (C e^{- 5 x}) - 1}{10}$