Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x^{2} \sin (2 x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x^{2} \sin (2 x)$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2} \sin (2 x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $\frac{y}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x^{2} \sin (2 x))$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (x \sin (2 x)))$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x \sin (2 x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x \sin (2 x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} y = \int x \sin (2 x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 7.2.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Этап 7.3

Поскольку $- \frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Этап 7.5

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.5.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 7.6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Этап 7.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Этап 7.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Этап 7.9

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Этап 7.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Перепишем $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 7.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 7.10.2.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Этап 7.11

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 7.12

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x} \cdot y = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x (1 - 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot 1 + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x + x (- 2 \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- x \sin^{2} (x))) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} - 1 (- x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + 1 (x \sin^{2} (x)) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.8

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Этап 8.3.1.9

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{4} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Этап 8.3.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 \sin (x) \cos (x)) + C$

Этап 8.3.1.10.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 (2)} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Этап 8.3.1.10.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 (\sin (x) \cos (x))) + C$

Этап 8.3.1.10.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{1}{2} \cdot (\sin (x) \cos (x)) + C$

Этап 8.3.1.11

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{2} \cdot \cos (x) + C$

Этап 8.3.1.12

Объединим $\frac{\sin (x)}{2}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C$

Этап 8.4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Этап 8.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Этап 8.4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$

Этап 8.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1

Упростим $(- \frac{x}{2} + x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{x}{2} x + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.2.1

Умножим $- \frac{x}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.2.1.1

Объединим $x$ и $\frac{x}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = - \frac{x^{1} x^{1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{x^{1 + 1}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \sin^{2} (x) x + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x \cdot x \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x)}{2} x + C x$

Этап 8.4.2.2.1.2.3

Объединим $\frac{\sin (x) \cos (x)}{2}$ и $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$

Этап 8.4.2.2.1.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cos (x) x}{2} + C x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2} + C x$

Этап 8.4.2.2.1.4

Перенесем $\frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x^{2} \sin^{2} (x) + C x + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$

Этап 8.4.2.2.1.5

Перенесем $x^{2} \sin^{2} (x)$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + C x + x^{2} \sin^{2} (x) + \frac{x \sin (x) \cos (x)}{2}$