Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = 0$ ; dengan $y (0) = 1$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 x d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int x d x}$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{1 x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x^{2}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $e^{x^{2}}$ на $0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = 0$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x^{2}} y = \int 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$e^{x^{2}} y = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{x^{2}} y = C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x^{2}} y = C$ на $e^{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x^{2}} y = C$ на $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Этап 8

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Этап 9

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Этап 9.2

Умножим обе части уравнения на $e^{0^{2}}$ .

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Этап 9.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{0^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{0^{2}} \frac{C}{e^{0^{2}}} = e^{0^{2}} \cdot 1$

Этап 9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$C = e^{0^{2}} \cdot 1$

Этап 9.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Упростим $e^{0^{2}} \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C = e^{0} \cdot 1$

Этап 9.3.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$C = 1 \cdot 1$

Этап 9.3.2.1.3

Умножим $1$ на $1$ .

$C = 1$

Этап 10

Подставим $1$ вместо $C$ в $y = \frac{C}{e^{x^{2}}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $1$ вместо $C$ .

$y = \frac{1}{e^{x^{2}}}$