Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = 0.6 y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (0.6 y^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.2

Объединим $0.6$ и $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = \frac{0.6}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d t} = 0.6$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0.6 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 0.6 d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 0.6 d t$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 0.6 d t$

Этап 2.2.1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Этап 2.2.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 0.6 d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- \frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 0.6 d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 0.6 t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 y^{\frac{1}{2}} = 0.6 t + K$ на $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $y^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 t}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем множитель $0.6$ из $0.6 t$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6 (t)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.3

Разделим дроби.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{0.6}{2} \cdot \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.4

Разделим $0.6$ на $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 \frac{t}{1} + \frac{K}{2}$

Этап 3.1.3.1.5

Разделим $t$ на $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 0.3 t + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$y = {(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${(0.3 t + \frac{K}{2})}^{2}$ в виде $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ .

$y = (0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Развернем $(0.3 t + \frac{K}{2}) (0.3 t + \frac{K}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 0.3 t (0.3 t + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t + \frac{K}{2})$

Этап 3.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 0.3 t (0.3 t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 0.3 \cdot 0.3 t \cdot t + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 (t \cdot t) + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$y = 0.3 \cdot 0.3 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.3

Умножим $0.3$ на $0.3$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 t \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4

Умножим $0.3 t \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.4.1

Объединим $0.3$ и $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + t \frac{0.3 K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.4.2

Объединим $t$ и $\frac{0.3 K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{t (0.3 K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.5

Перенесем $0.3$ влево от $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 \cdot t K}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.6

Вынесем множитель $0.3$ из $0.3 \cdot t K$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3 (t K)}{2 (1)} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.8

Разделим дроби.

$y = 0.09 t^{2} + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.9

Разделим $0.3$ на $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 \frac{t K}{1} + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.10

Разделим $t K$ на $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 (t K) + \frac{K}{2} (0.3 t) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.3 \frac{K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.12

Объединим $0.3$ и $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.13

Вынесем множитель $0.3$ из $0.3 K$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.14

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3 K}{2 (1)} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.15

Разделим дроби.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + \frac{0.3}{2} \cdot \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.16

Разделим $0.3$ на $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 \frac{K}{1} t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.17

Разделим $K$ на $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.18

Умножим $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1.18.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{K}{2}$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.18.2

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.18.3

Возведем $K$ в степень $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.18.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.18.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.3.1.18.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 t K + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Добавим $0.15 t K$ и $0.15 K t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.2.1

Перенесем $t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.15 K t + 0.15 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.3.2.1.3.2.2

Добавим $0.15 K t$ и $0.15 K t$ .

$y = 0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$

Этап 3.4

Упростим $0.09 t^{2} + 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $0.09 t^{2}$ .

$y = 0.3 K t + \frac{K^{2}}{4} + 0.09 t^{2}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок $0.3 K t$ и $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 0.3 K t + 0.09 t^{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = K + K t + 0.09 t^{2}$