Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{4}$ .

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{4} d y = 3 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{4} d y = \int 3 x^{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{5} y^{5} = x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 (\frac{1}{5} y^{5}) = 5 (x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $5 (\frac{1}{5} y^{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $y^{5}$ .

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{5} = 5 (x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{5} = 5 x^{3} + 5 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{5 x^{3} + 5 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{3} + 5 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{3}$ .

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3}) + 5 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $5$ из $5 (x^{3}) + 5 K$ .

$y = \sqrt[5]{5 (x^{3} + K)}$