Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d x} = 8 x^{7} - 4 x^{3} + 5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d u = (8 x^{7} - 4 x^{3} + 5) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d u = \int 8 x^{7} - 4 x^{3} + 5 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C_{1} = \int 8 x^{7} - 4 x^{3} + 5 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$u + C_{1} = \int 8 x^{7} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$u + C_{1} = 8 \int x^{7} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$u + C_{1} = 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$u + C_{1} = 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$u + C_{1} = 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int 5 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C_{1} = 8 (\frac{1}{8} x^{8} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{8}$ .

$u + C_{1} = 8 (\frac{x^{8}}{8} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$u + C_{1} = 8 (\frac{x^{8}}{8} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$u + C_{1} = x^{8} - x^{4} + 5 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$u = x^{8} - x^{4} + 5 x + K$