Математический анализ Примеры

$(2 + x) (\frac{d y}{d x}) = 3 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(2 + x) \frac{d y}{d x} = 3 y$ на $2 + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(2 + x) \frac{d y}{d x} = 3 y$ на $2 + x$ .

$\frac{(2 + x) \frac{d y}{d x}}{2 + x} = \frac{3 y}{2 + x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 + x) \frac{d y}{d x}}{2 + x} = \frac{3 y}{2 + x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{2 + x}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{2 + x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{2 + x}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{2 + x}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 + x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{2 + x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{2 + x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{2 + x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 2 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 2 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $2 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 3 \ln (| 2 + x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 3 \ln (| 2 + x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $- 3 \ln (| 2 + x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({| 2 + x |}^{3}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${| 2 + x |}^{3}$ .

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${| 2 + x |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{{| 2 + x |}^{3}} {| 2 + x |}^{3} = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} {| 2 + x |}^{3}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} {| 2 + x |}^{3}$ .

$| y | = {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} e^{C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm {| 2 + x |}^{3} C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C {| 2 + x |}^{3}$