Математический анализ Примеры

$(3 x^{2} + 3 x y^{2}) d x + (3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x^{2} + 3 x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 3 x y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 3 x y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x y^{2}$ по $y$ равна $3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x (2 y)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x y$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $6 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} y$ по $x$ равна $3 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 2.4.2

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0 + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Добавим $6 y x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x + 0$

Этап 2.5.1.2

Добавим $6 y x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y x$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $6 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 x y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x y = 6 x y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$6 x y = 6 x y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 3 x y^{2} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 3 x^{2} + 3 x y^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 3 x y^{2} d x$

Этап 5.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 3 x y^{2} d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x y^{2} d x$

Этап 5.4

Поскольку $3 y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} \int x d x$

Этап 5.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{3}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.5

Объединим $y^{2}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.6

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.7

Умножим $3$ на $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} + C$

Этап 5.7.8

Объединим $\frac{3 y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} + C$

Этап 5.8

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.2.2

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{3}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{3 y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.3

Поскольку $\frac{3 x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{3 y^{2} x^{2}}{2}$ по $y$ равна $\frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{3 x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + \frac{3 x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.5

Объединим $2$ и $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2})}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.6

Умножим $3$ на $2$ .

$0 + \frac{6 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.7

Объединим $\frac{6 x^{2}}{2}$ и $y$ .

$0 + \frac{6 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.8

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 (3 x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{3 x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.3.8.2.4

Разделим $3 x^{2} y$ на $1$ .

$0 + 3 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $3 x^{2} y$ .

$3 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $3 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y - 3 x^{2} y$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} y - 3 y^{2} + 2 y - 3 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $3 x^{2} y$ из $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $- 3 y^{2} + 2 y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y$

Этап 10

Найдем первообразную $- 3 y^{2} + 2 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{2} + 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{2} + 2 y d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{2} + 2 y d y$

Этап 10.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int - 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

Этап 10.4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

Этап 10.5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

Этап 10.6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

Этап 10.7

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 10.8

Упростим.

$g (y) = - 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.9.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.9.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$g (y) = - y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 10.9.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 10.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.4.1

Сократим общий множитель.

$g (y) = - y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Этап 10.9.4.2

Перепишем это выражение.

$g (y) = - y^{3} + 1 y^{2} + C$

Этап 10.9.5

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$g (y) = - y^{3} + y^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3}{2} y^{2} x^{2} - y^{3} + y^{2} + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{2} x^{2} - y^{3} + y^{2} + C$

Этап 12.2

Объединим $\frac{3 y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2} x^{2}}{2} - y^{3} + y^{2} + C$