Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y + y}{x + x y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y}{x + x y}$

Этап 1.1.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y^{1}}{x + x y}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x + y \cdot 1}{x + x y}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x + x y}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $x + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x^{1} + x y}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x y}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot 1 + x (y)}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x \cdot (1 + y)}$

Этап 1.2.5

Умножим $x$ на $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x (1 + y)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1 + y}{y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} (\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{y}{1 + y})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{x + 1}{x}$ на $\frac{y}{1 + y}$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x (1 + y)}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $1 + y$ из $x (1 + y)$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{(1 + y) x}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{(x + 1) y}{x}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y$ из $(x + 1) y$ .

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Этап 1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1 + y}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 + y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{y} d y + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} + y + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\ln (| y |) + y + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = x + \ln (| x |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y + \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$