Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 (7 - x)}$ ; with $y (6) = 19$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 (7 - x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{7 - x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 7 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 7 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{3} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $7 - x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\ln (| 7 - x |)}{3} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $6$ вместо $x$ и $19$ вместо $y$ в $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ .

$19 = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - 6 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C = 19$

Этап 4.2

Упростим $- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $6$ из $7$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (| 1 |) + C = 19$

Этап 4.2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \ln (1) + C = 19$

Этап 4.2.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + C = 19$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + C = 19$

Этап 4.2.1.4.2

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$0 + C = 19$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $C$ .

$C = 19$

Этап 5

Подставим $19$ вместо $C$ в $y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $19$ вместо $C$ .

$y = - \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |) + 19$

Этап 5.2

Умножим $- \frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок $\ln (| 7 - x |)$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = - (\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)) + 19$

Этап 5.2.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (| 7 - x |)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$y = - \ln ({| 7 - x |}^{\frac{1}{3}}) + 19$