Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} - 42 t^{6} e^{- y} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $42 t^{6} e^{- y}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d t} = 42 t^{6} e^{- y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (42 t^{6} e^{- y})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 42 \frac{1}{e^{- y}} (t^{6} e^{- y})$

Этап 1.3.2

Объединим $42$ и $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{42}{e^{- y}} (t^{6} e^{- y})$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $t^{6} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{42}{e^{- y}} (e^{- y} t^{6})$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{42}{e^{- y}} (e^{- y} t^{6})$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 42 t^{6}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 42 t^{6} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 42 t^{6} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 42 t^{6} d t$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 42 t^{6} d t$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 42 t^{6} d t$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 42 t^{6} d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 42 t^{6} d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 42 t^{6} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $42$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $42$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 42 \int t^{6} d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t^{6}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$e^{y} + C_{1} = 42 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $42 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2})$ в виде $42 (\frac{1}{7}) t^{7} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 42 (\frac{1}{7}) t^{7} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $42$ и $\frac{1}{7}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{42}{7} t^{7} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $42$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $42$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{7 \cdot 6}{7} t^{7} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{7 \cdot 6}{7 (1)} t^{7} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{y} + C_{1} = \frac{7 \cdot 6}{7 \cdot 1} t^{7} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{y} + C_{1} = \frac{6}{1} t^{7} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 6 t^{7} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = 6 t^{7} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (6 t^{7} + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (6 t^{7} + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (6 t^{7} + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (6 t^{7} + K)$