Математический анализ Примеры

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(1 + x^{2}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Этап 1.6

Добавим $0$ и $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Этап 1.8

Изменим порядок $1$ и $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Этап 1.9

Избавимся от скобок.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Этап 1.10

Перенесем $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 5.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.4.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.4.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.4.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ на $1 + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$