Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = x^{3}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$

Этап 2.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{3} e^{x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{3} e^{x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{3} e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int x^{3} e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{3}$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Этап 6.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Этап 6.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Этап 6.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Этап 6.7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Этап 6.8

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Этап 6.9

Перепишем $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ в виде $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x} y = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 2 x e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 2 x)$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x^{2} - 2 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$y = x^{3} + \frac{- 3 (e^{x} (x^{2} - 2 x + 2))}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{3} + \frac{- 3 e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.3.2

Разделим $- 3 (x^{2} - 2 x + 2)$ на $1$ .

$y = x^{3} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.5.1

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 2 + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.5.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{C}{e^{x}}$