Математический анализ Примеры

$(y^{2} + 1) d x + x (y d) y = 0$

Этап 1

Вычтем $(y^{2} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$x y d y = - (y^{2} + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y^{2} + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x (y^{2} + 1)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x (y^{2} + 1)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{y^{2} + 1}$ и $y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x (y^{2} + 1)}$ в числитель.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{2} + 1$ из $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x} (y^{2} + 1) d x$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x} (y^{2} + 1) d x$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u = y^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u = y^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 y + 0$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (- \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (- \ln (| x |)) + 2 C$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = - 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x |) = 2 C$

Этап 5.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Этап 5.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln (x^{2}) = 2 C$

Этап 5.4.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | x^{2}) = 2 C$

Этап 5.4.1.3

Изменим порядок множителей в $\ln (| y^{2} + 1 | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | y^{2} + 1 |) = 2 C$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} | y^{2} + 1 |)} = e^{2 C}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (x^{2} | y^{2} + 1 |) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = x^{2} | y^{2} + 1 |$

Этап 5.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$ .

$x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$

Этап 5.7.2

Разделим каждый член $x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Разделим каждый член $x^{2} | y^{2} + 1 | = e^{2 C}$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | y^{2} + 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} | y^{2} + 1 |}{x^{2}} = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.7.2.2.1.2

Разделим $| y^{2} + 1 |$ на $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.7.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}}$

Этап 5.7.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1$

Этап 5.7.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 C}}{x^{2}} - 1}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{C}{x^{2}} - 1}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C \frac{1}{x^{2}} - 1}$