Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Этап 6.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Этап 6.3.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Этап 6.4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Этап 6.5

Перепишем $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ в виде $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $- \cos (x)$ на $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$