Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 6

Разделим каждый член $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.1.2.5

Разделим $\frac{1}{2} x$ на $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

Этап 7

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ .

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

Этап 8

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

Этап 8.2

Разделим $C$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 2$

Этап 8.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

Этап 8.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 8.3.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 8.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$C = \frac{4 - 1}{2}$

Этап 8.3.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$C = \frac{3}{2}$

Этап 9

Подставим $\frac{3}{2}$ вместо $C$ в $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим $\frac{3}{2}$ вместо $C$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$