Математический анализ Примеры

$\frac{d E}{d t} = 30 - 10 t$ , $E (2) = 72$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d E = (30 - 10 t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d E = \int 30 - 10 t d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$E + C_{1} = \int 30 - 10 t d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$E + C_{1} = \int 30 d t + \int - 10 t d t$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} + \int - 10 t d t$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 10$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 10$ из-под знака интеграла.

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 \int t d t$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + C_{2} - 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$E + C_{1} = 30 t - 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{2}$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 10}{2} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$E + C_{1} = 30 t + \frac{- 5}{1} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $- 5$ на $1$ .

$E + C_{1} = 30 t - 5 t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$E + C_{1} = - 5 t^{2} + 30 t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $t$ и $72$ вместо $E$ в $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ .

$72 = - 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$ .

$- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K = 72$

Этап 4.2

Упростим $- 5 \cdot 2^{2} + 30 \cdot 2 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 5 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$- 20 + 30 \cdot 2 + K = 72$

Этап 4.2.1.3

Умножим $30$ на $2$ .

$- 20 + 60 + K = 72$

Этап 4.2.2

Добавим $- 20$ и $60$ .

$40 + K = 72$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $40$ из обеих частей уравнения.

$K = 72 - 40$

Этап 4.3.2

Вычтем $40$ из $72$ .

$K = 32$

Этап 5

Подставим $32$ вместо $K$ в $E = - 5 t^{2} + 30 t + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $32$ вместо $K$ .

$E = - 5 t^{2} + 30 t + 32$