Математический анализ Примеры

$(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{4} - x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} - x + y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{4} - x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Поскольку $x^{4}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{4}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 1$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Этап 1.6.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = - 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Этап 4.3

Подставим $- x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- x$ вместо $N$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{4} - x + y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{4} - x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x^{4} - x + y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $- x$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Этап 8.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{y}{x} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{y}{x}$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.5.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x^{4} - x + y)}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} - - x - y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + 1 x - y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + x - y}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $y - x^{4} + x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x + 0}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- x^{4} + x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{4} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x^{1}}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{3}) + x \cdot 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2

Перепишем $- x^{3}$ в виде ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1^{3})}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = - x$ и $b = 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.5.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.5.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.5.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.5.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.5.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.5.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.5.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.5.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Этап 12.1.1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Этап 12.1.1.6

Чтобы записать $\frac{d g}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Этап 12.1.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{d g}{d x} x + (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.8.1

Развернем $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.8.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.8.2.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.8.2.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.8.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.2.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.3

Объединим противоположные члены в $- x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.8.3.1

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + 0 + x + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.3.2

Добавим $- x^{3} - x$ и $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + x + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.3.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 0 + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.1.8.3.4

Добавим $- x^{3}$ и $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1}{x} = 0$

Этап 12.1.2

Приравняем числитель к нулю.

$\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1 = 0$

Этап 12.1.3

Решим уравнение относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1.1

Добавим $x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} x + 1 = x^{3}$

Этап 12.1.3.1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$

Этап 12.1.3.2

Разделим каждый член $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.1

Разделим каждый член $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ на $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.2.1.2

Разделим $\frac{d g}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.3.1.1.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + \frac{- 1}{x}$

Этап 12.1.3.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$

Этап 13

Найдем первообразную $x^{2} - \frac{1}{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Этап 13.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 13.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 13.6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - (\ln (| x |) + C)$

Этап 13.7

Упростим.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{x^{3}}{3} - \ln (| x |) + C$