Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 4 x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (5 x^{2} + 4 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 5 x^{2} + 4 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} + 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 4 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{5}{3} x^{3} + K$