Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8)$ , $y (\ln (2)) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 \int e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 8) d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = e^{3 t} - 8$ . Тогда $d u_{2} = 3 e^{3 t} d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = e^{3 t} d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = e^{3 t} - 8$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $e^{3 t} - 8$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 8]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $e^{3 t} - 8$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 t$ .

$e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.3.5

Перенесем $3$ влево от $e^{3 t}$ .

$3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 8]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $t$ , производная $- 8$ относительно $t$ равна $0$ .

$3 e^{3 t} + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $3 e^{3 t}$ и $0$ .

$3 e^{3 t}$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Объединим $\sin (u_{2})$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.6

Интеграл $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{3 t} - 8$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{3 t} - 8) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $\ln (2)$ вместо $t$ и $0$ вместо $y$ в $y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$ .

$0 = - \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K = 0$ .

$- \cos (e^{3 \ln (2)} - 8) + K = 0$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Упростим $3 \ln (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$- \cos (e^{\ln (2^{3})} - 8) + K = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$- \cos (2^{3} - 8) + K = 0$

Этап 4.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \cos (8 - 8) + K = 0$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Этап 4.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + K = 0$

Этап 4.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$K = 1$

Этап 5

Подставим $1$ вместо $K$ в $y = - \cos (e^{3 t} - 8) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $K$ .

$y = - \cos (e^{3 t} - 8) + 1$