Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x e^{- y}$

Этап 1

Пусть $v = e^{- y}$ . Подставим $v$ вместо $e^{- y}$ для всех.

$x \frac{d y}{d x} + 3 = 4 x v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d x}$ , дифференцируя $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{- y} (- y')$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{- y} (- y')$ .

$\frac{d v}{d x} = - e^{- y} y'$

Этап 3

Подставим $v$ вместо $e^{- y}$ .

$\frac{d v}{d x} = - v y'$

Этап 4

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$

Этап 5

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Каждый член в $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ умножим на $- \frac{v}{x}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим каждый член $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} + 3 = 4 x v$ на $- \frac{v}{x}$ .

$- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x \frac{d v}{d x}}{v}$ в числитель.

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} (- \frac{v}{x}) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{v}{x}$ в числитель.

$\frac{- x \frac{d v}{d x}}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x \frac{d v}{d x}$ .

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- \frac{d v}{d x})}{v} \cdot \frac{- v}{x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $v$ из $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.4

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 (- \frac{v}{x}) = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.5

Умножим $3 (- \frac{v}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 3 \frac{v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.5.2

Объединим $- 3$ и $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v (- \frac{v}{x})$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{v}{x}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 x v \frac{- v}{x}$

Этап 5.1.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

Этап 5.1.3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = x (4 v) \frac{- v}{x}$

Этап 5.1.3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 4 v (- v)$

Этап 5.1.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v \cdot v$

Этап 5.1.3.3

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v)$

Этап 5.1.3.4

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 (v^{1} v^{1})$

Этап 5.1.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{1 + 1}$

Этап 5.1.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 4 v^{2}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $v$ из $- \frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 4 v^{2}$

Этап 5.3

Изменим порядок $v$ и $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$

Этап 6

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $v$ .

$y = v^{- 1}$

Этап 8

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 9

Возьмем производную $v^{- 1}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возьмем производную от $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 9.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 9.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Умножим $v$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 9.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 10

Подставим $- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо $\frac{d v}{d x}$ и $v^{- 1}$ вместо $v$ в исходное уравнение $\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 4 v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 11

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ умножим на $- v^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{3}{x} v^{- 1} = - 4 {(v^{- 1})}^{2}$ на $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $v^{2}$ из $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.4

Умножим $v^{- 1}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1.4.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{2 - 1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.4.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.5

Упростим $- \frac{3}{x} v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.6

Объединим $v$ и $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 3}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.7

Перенесем $3$ влево от $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 \cdot v}{x} \cdot - 1 = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.8

Умножим $- \frac{3 v}{x} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.2.1.8.2

Умножим $\frac{3 v}{x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 11.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = - 4 \cdot - 1 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Этап 11.1.1.3.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Этап 11.1.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Этап 11.1.1.3.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{- 2} v^{2}$

Этап 11.1.1.3.4

Умножим $v^{- 2}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.3.4.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 (v^{2} v^{- 2})$

Этап 11.1.1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{2 - 2}$

Этап 11.1.1.3.4.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4 v^{0}$

Этап 11.1.1.3.5

Упростим $4 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 v}{x} = 4$

Этап 11.1.2

Вынесем множитель $v$ из $\frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{3}{x} = 4$

Этап 11.1.3

Изменим порядок $v$ и $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3}{x} v = 4$

Этап 11.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Этап 11.2.2

Проинтегрируем $\frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 11.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 11.2.2.3

Упростим.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Этап 11.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 \ln (x)}$

Этап 11.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{3})}$

Этап 11.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{3}$

Этап 11.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим каждый член на $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} v) = x^{3} \cdot 4$

Этап 11.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Объединим $\frac{3}{x}$ и $v$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{3} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Этап 11.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Этап 11.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 v}{x} = x^{3} \cdot 4$

Этап 11.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + x^{2} (3 v) = x^{3} \cdot 4$

Этап 11.3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = x^{3} \cdot 4$

Этап 11.3.3

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d v}{d x} + 3 x^{2} v = 4 x^{3}$

Этап 11.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{3} v] = 4 x^{3}$

Этап 11.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} v] d x = \int 4 x^{3} d x$

Этап 11.6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{3} v = \int 4 x^{3} d x$

Этап 11.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$x^{3} v = 4 \int x^{3} d x$

Этап 11.7.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 11.7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{3} v = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Этап 11.7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Этап 11.7.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{3} v = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Этап 11.7.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} v = 1 x^{4} + C$

Этап 11.7.3.2.3

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{3} v = x^{4} + C$

Этап 11.8

Разделим каждый член $x^{3} v = x^{4} + C$ на $x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Разделим каждый член $x^{3} v = x^{4} + C$ на $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 11.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} v}{x^{3}} = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 11.8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 11.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.3.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.3.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 11.8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 11.8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x^{3} x}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 11.8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 11.8.3.1.2.4

Разделим $x$ на $1$ .

$v = x + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 12

Подставим $v^{- 1}$ вместо $v$ .

$v^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 13

Заменим все вхождения $v$ на $e^{- y}$ .

${(e^{- y})}^{- 1} = x + \frac{C}{x^{3}}$

Этап 14

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Этап 14.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Этап 14.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$

Этап 14.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (x + \frac{C}{x^{3}})$