Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 24$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 24$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Этап 2.3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Этап 2.3.9.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Этап 2.3.9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Этап 2.3.9.2

Упростим.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $x$ и $- 6$ вместо $y$ в $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ .

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ .

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Этап 4.2

Упростим $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Этап 4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Этап 4.2.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- 12$ на $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Этап 4.2.1.6

Умножим $8$ на $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $27$ из $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $108$ из $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Этап 4.2.2.3

Добавим $- 54$ и $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $30$ к обеим частям уравнения.

$K = - 6 + 30$

Этап 4.3.2

Добавим $- 6$ и $30$ .

$K = 24$

Этап 5

Подставим $24$ вместо $K$ в $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $24$ вместо $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$