Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (2 + x^{2}) (3 + y^{2})$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{3 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} ((2 + x^{2}) (3 + y^{2}))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $3 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3 + y^{2}$ из $(2 + x^{2}) (3 + y^{2})$ .

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} ((3 + y^{2}) (2 + x^{2}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} ((3 + y^{2}) (2 + x^{2}))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 + x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{3 + y^{2}} d y = (2 + x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{3 + y^{2}} d y = \int 2 + x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $3$ в виде ${\sqrt{3}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + y^{2}} d y = \int 2 + x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{y}{\sqrt{3}}) + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Объединим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{y}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C_{1}$ в виде $\frac{\arctan (\frac{y \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C_{1}$ .

$\frac{\arctan (\frac{y \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Этап 2.2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = \int 2 + x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = \int 2 d x + \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x^{2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = 2 x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$ умножим на $\frac{3}{\sqrt{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + K$ на $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3} y) \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.2

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})$ .

$\frac{\sqrt{3} \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.3

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем множитель $\sqrt{3}$ из $\sqrt{3} \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})$ .

$\frac{\sqrt{3} (\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}))}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3})}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{1}{3} x^{3} \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.2

Объединим.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3}}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.5.1

Умножим $\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3}{\sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.6

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.7.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.8.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \frac{3 \sqrt{3}}{3} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.8.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3}{\sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.9

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K (\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 3.2.3.1.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.10.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.10.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.2.3.1.10.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.2.3.1.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.2.3.1.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.2.3.1.10.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.2.3.1.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.3.1.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.3.1.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.2.3.1.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.2.3.1.10.6.5

Найдем экспоненту.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.3.1.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.11.1

Сократим общий множитель.

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.2.3.1.11.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3} y}{3}) = \frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3}$

Этап 3.3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$\frac{\sqrt{3} y}{3} = \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} y}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} y}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} y}{3} = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $\sqrt{3}$ из $\sqrt{3} y$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} (y)) = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3} y) = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $\frac{3}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3^{1}} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 3.5.2.1.3.2

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$y = \sqrt{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K \sqrt{3})$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{3} \tan (\frac{x^{3} \sqrt{3}}{3} + 2 x \sqrt{3} + K)$