Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 3}$ ; and , $y (3) = 4$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (t + 2 e^{t - 3}) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 3} d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 3} d t$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 3} d t$

Этап 2.3.4

Пусть $u = t - 3$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u = t - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Этап 2.3.4.1.2

По правилу суммы производная $t - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 2.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Этап 2.3.4.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Этап 2.3.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $t - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $t$ и $4$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 2 e^{0} + K = 4$

Этап 4.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Этап 4.2.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Этап 4.2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 + K = 4$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Этап 4.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9 + 4}{2} + K = 4$

Этап 4.2.6.2

Добавим $9$ и $4$ .

$\frac{13}{2} + K = 4$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{13}{2}$ из обеих частей уравнения.

$K = 4 - \frac{13}{2}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Этап 4.3.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 13}{2}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$K = \frac{8 - 13}{2}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $13$ из $8$ .

$K = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{5}{2}$

Этап 5

Подставим $- \frac{5}{2}$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{5}{2}$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Этап 5.3

Чтобы записать $2 e^{t - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 5.4

Объединим $2 e^{t - 3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 3}}{2} - \frac{5}{2}$