Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 9 e^{x + 7}$ , $y (- 7) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 9 e^{x + 7} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 9 e^{x + 7} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 9 e^{x + 7} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 9 \int e^{x + 7} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x + 7$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 9 \int e^{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 9 (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = 9 e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + 7$ .

$y + C_{1} = 9 e^{x + 7} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 9 e^{x + 7} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $- 7$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = 9 e^{x + 7} + K$ .

$0 = 9 e^{- 7 + 7} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $9 e^{- 7 + 7} + K = 0$ .

$9 e^{- 7 + 7} + K = 0$

Этап 4.2

Упростим $9 e^{- 7 + 7} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$9 e^{0} + K = 0$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$9 \cdot 1 + K = 0$

Этап 4.2.2.2

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$K = - 9$

Этап 5

Подставим $- 9$ вместо $K$ в $y = 9 e^{x + 7} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 9$ вместо $K$ .

$y = 9 e^{x + 7} - 9$