Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{x d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d x}$ на множители.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $\frac{y}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = - \frac{y}{x^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Добавим $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} = - \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Этап 1.2.3

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = (- \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x = (- \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x$

Этап 1.2.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим $(- \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2}} x + \frac{y^{2}}{x^{2}} x$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x^{2}} x + \frac{y^{2}}{x^{2}} x$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x \cdot x} x + \frac{y^{2}}{x^{2}} x$

Этап 1.2.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x \cdot x} x + \frac{y^{2}}{x^{2}} x$

Этап 1.2.4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} x$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x} + \frac{y^{2}}{x \cdot x} x$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x} + \frac{y^{2}}{x \cdot x} x$

Этап 1.2.4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x} + \frac{y^{2}}{x}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{y^{2}}{x}$

Этап 1.2.4.2.1.4.2

Изменим порядок $- \frac{y}{x}$ и $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{y}{x}$

Этап 1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - y}{x}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - y}{x}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y + y \cdot - 1}{x}$

Этап 1.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 1)}{x}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{y (y - 1)}$ .

$\frac{1}{y (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 1)} \cdot \frac{y (y - 1)}{x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y (y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 1)} \cdot \frac{y (y - 1)}{x}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $y (y - 1)$ .

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y (y - 1))}{y (y - 1)} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y (y - 1))}{y} + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.1.2

Разделим $A (y - 1)$ на $1$ .

$1 = A (y - 1) + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A y - A + \frac{B (y (y - 1))}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.5.2

Разделим $(B) (y)$ на $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y)$

$1 = A y - A + B y$

Этап 2.2.1.1.6

Перенесем $- A$ .

$1 = A y + B y - A$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 1 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 A = 1$ .

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 1 A = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.2.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

Этап 2.2.1.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

Этап 2.2.1.3.4

Решим систему уравнений.

$B = 1 A = - 1$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$B = 1, A = - 1$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1}$

Этап 2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u = y - 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u = y - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.5.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \ln (| u |) + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$- \ln (| y |) + \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $y - 1$ .

$- \ln (| y |) + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.9

Изменим порядок членов.

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |}) = \ln (| x |) + C$

Этап 3.2

Изменим порядок $\ln (| x |)$ и $C$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |}) = C + \ln (| x |)$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |}) - \ln (| x |) = C$

Этап 3.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| y - 1 |}{| y |}}{| x |}) = C$

Этап 3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y |} \cdot \frac{1}{| x |}) = C$

Этап 3.6

Умножим $\frac{| y - 1 |}{| y |} \cdot \frac{1}{| x |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $\frac{| y - 1 |}{| y |}$ на $\frac{1}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y | | x |}) = C$

Этап 3.6.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| y x |}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| y x |})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (\frac{| y - 1 |}{| y x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| y x |}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y - 1 |}{| y x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 1 |}{| y x |} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Умножим обе части на $| y x |$ .

$\frac{| y - 1 |}{| y x |} | y x | = e^{C} | y x |$

Этап 3.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Сократим общий множитель $| y x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y - 1 |}{| y x |} | y x | = e^{C} | y x |$

Этап 3.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y - 1 | = e^{C} | y x |$

Этап 3.9.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{C} | y x | = | y - 1 |$ .

$e^{C} | y x | = | y - 1 |$

Этап 3.9.4.2

Разделим каждый член $e^{C} | y x | = | y - 1 |$ на $e^{C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.2.1

Разделим каждый член $e^{C} | y x | = | y - 1 |$ на $e^{C}$ .

$\frac{e^{C} | y x |}{e^{C}} = \frac{| y - 1 |}{e^{C}}$

Этап 3.9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{C} | y x |}{e^{C}} = \frac{| y - 1 |}{e^{C}}$

Этап 3.9.4.2.2.1.2

Разделим $| y x |$ на $1$ .

$| y x | = \frac{| y - 1 |}{e^{C}}$

Этап 3.9.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$

$y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$

$- y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$

$- y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$

Этап 3.9.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$

$y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$

Этап 3.9.4.5

Решим $y x = \frac{y - 1}{e^{C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$y x e^{C} = \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.9.4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.2.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$y x e^{C} = \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.9.4.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y x e^{C} = y - 1$

Этап 3.9.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.3.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$y x e^{C} - y = - 1$

Этап 3.9.4.5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y x e^{C} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x e^{C}$ .

$y (x e^{C}) - y = - 1$

Этап 3.9.4.5.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot - 1 = - 1$

Этап 3.9.4.5.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{C}) + y \cdot - 1$ .

$y (x e^{C} - 1) = - 1$

Этап 3.9.4.5.3.3

Разделим каждый член $y (x e^{C} - 1) = - 1$ на $x e^{C} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.3.3.1

Разделим каждый член $y (x e^{C} - 1) = - 1$ на $x e^{C} - 1$ .

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 1}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.9.4.5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x e^{C} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x e^{C} - 1)}{x e^{C} - 1} = \frac{- 1}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.9.4.5.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.9.4.5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.5.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

Этап 3.9.4.6

Решим $y x = - \frac{y - 1}{e^{C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.1

Умножим обе части на $e^{C}$ .

$y x e^{C} = - \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.9.4.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.2.1

Упростим $- \frac{y - 1}{e^{C}} e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y - 1}{e^{C}}$ в числитель.

$y x e^{C} = \frac{- (y - 1)}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.9.4.6.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y x e^{C} = \frac{- (y - 1)}{e^{C}} e^{C}$

Этап 3.9.4.6.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y x e^{C} = - (y - 1)$

Этап 3.9.4.6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y x e^{C} = - y - - 1$

Этап 3.9.4.6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y x e^{C} = - y + 1$

Этап 3.9.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y x e^{C} + y = 1$

Этап 3.9.4.6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y x e^{C} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x e^{C}$ .

$y (x e^{C}) + y = 1$

Этап 3.9.4.6.3.2.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y (x e^{C}) + y = 1$

Этап 3.9.4.6.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y (x e^{C}) + y \cdot 1 = 1$

Этап 3.9.4.6.3.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{C}) + y \cdot 1$ .

$y (x e^{C} + 1) = 1$

Этап 3.9.4.6.3.3

Разделим каждый член $y (x e^{C} + 1) = 1$ на $x e^{C} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.3.3.1

Разделим каждый член $y (x e^{C} + 1) = 1$ на $x e^{C} + 1$ .

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.9.4.6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $x e^{C} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x e^{C} + 1)}{x e^{C} + 1} = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.9.4.6.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Этап 3.9.4.7

Перечислим все решения.

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

$y = - \frac{1}{x e^{C} - 1}$

$y = \frac{1}{x e^{C} + 1}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1}{x C - 1}$

$y = \frac{1}{x C + 1}$