Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x + 5 y$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Вычтем $5 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 5 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 5 x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 5 x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $e^{- 5 x}$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Этап 7.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Этап 7.3

Поскольку $- \frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Этап 7.4.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Этап 7.5

Пусть $u = - 5 x$ . Тогда $d u = - 5 d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Пусть $u = - 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Дифференцируем $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 7.5.1.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Этап 7.5.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5$

Этап 7.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Этап 7.6.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 7.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Этап 7.8

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Этап 7.9.2

Умножим $5$ на $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Этап 7.10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Этап 7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.1

Перепишем $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ в виде $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Этап 7.11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.11.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Этап 7.11.2.2

Объединим $e^{- 5 x}$ и $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Этап 7.12

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Этап 7.13

Объединим $e^{- 5 x}$ и $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Этап 7.14

Изменим порядок членов.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $e^{- 5 x}$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Этап 8.1.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Этап 8.1.3

Объединим $e^{- 5 x}$ и $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ на $e^{- 5 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ на $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3.1.2

Умножим $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ на $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{- 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3.1.5

Умножим $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ на $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3.1.6

Сократим общий множитель $e^{- 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 8.2.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ .

$3 = - \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$ .

$- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Этап 10.2

Упростим $- \frac{0}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим $0$ на $5$ .

$- 0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Этап 10.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 \cdot 0}} = 3$

Этап 10.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Этап 10.2.2.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + \frac{C}{1} = 3$

Этап 10.2.2.3

Разделим $C$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{25} + C = 3$

Этап 10.2.3

Вычтем $\frac{1}{25}$ из $0$ .

$- \frac{1}{25} + C = 3$

Этап 10.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Добавим $\frac{1}{25}$ к обеим частям уравнения.

$C = 3 + \frac{1}{25}$

Этап 10.3.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$C = 3 \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{25}$

Этап 10.3.3

Объединим $3$ и $\frac{25}{25}$ .

$C = \frac{3 \cdot 25}{25} + \frac{1}{25}$

Этап 10.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$C = \frac{3 \cdot 25 + 1}{25}$

Этап 10.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.5.1

Умножим $3$ на $25$ .

$C = \frac{75 + 1}{25}$

Этап 10.3.5.2

Добавим $75$ и $1$ .

$C = \frac{76}{25}$

Этап 11

Подставим $\frac{76}{25}$ вместо $C$ в $y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $\frac{76}{25}$ вместо $C$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{\frac{76}{25}}{e^{- 5 x}}$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}}$

Этап 11.2.2

Объединим.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76 \cdot 1}{25 e^{- 5 x}}$

Этап 11.2.3

Умножим $76$ на $1$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{76}{25 e^{- 5 x}}$