Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x^{2} - 4 x})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} - 4 x}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2} - 4 x}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Этап 1.2.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x (x - 4)}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x (x - 4)} d x$

Этап 2.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.5.1.2

Разделим $A (x - 4)$ на $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.5.3

Перенесем $- 4$ влево от $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

Этап 2.3.2.1.5.4.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

Этап 2.3.2.1.6

Перенесем $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

Этап 2.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 4 A$

Этап 2.3.2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

Этап 2.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = - 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

Этап 2.3.2.3.1.2

Разделим каждый член $- 4 A = 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 A = 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Этап 2.3.2.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Этап 2.3.2.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Этап 2.3.2.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Этап 2.3.2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- \frac{1}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + B$ на $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.3.3.2

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

Этап 2.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 2.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 2.3.2.5.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 2.3.2.5.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Этап 2.3.2.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Этап 2.3.2.5.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{x - 4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int - \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Этап 2.3.5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 4)} d x)$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 4} d x)$

Этап 2.3.8

Пусть $u = x - 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Пусть $u = x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 2.3.8.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.8.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{3}))$

Этап 2.3.10

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |)) + C_{4}$

Этап 2.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 4 |)) + C_{4}$

Этап 2.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1.1

Объединим $\ln (| x |)$ и $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| x |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 4 |)) + C_{4}$

Этап 2.3.12.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| x - 4 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{\ln (| x |)}{4} + \frac{\ln (| x - 4 |)}{4}) + C_{4}$

Этап 2.3.12.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- \ln (| x |) + \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |)) + \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (| x - 4 |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |)) - 1 (- \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (| x |)) - 1 (- \ln (| x - 4 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.6

Перепишем $- (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))$ в виде $- 1 (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{- 1 (\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |))}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.9

Умножим $\frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (| x |) - \ln (| x - 4 |)}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.12.10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} + C_{4}$

Этап 2.3.13

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{4} \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |}) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 4 - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Этап 3.5

Перенесем $4$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{4 \ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{4 \ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $4 \ln (| y |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{4}) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (y^{4}) - \ln (\frac{| x |}{| x - 4 |})}{4} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{4}}{\frac{| x |}{| x - 4 |}})}{4} = C$

Этап 3.6.1.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\ln (y^{4} \frac{| x - 4 |}{| x |})}{4} = C$

Этап 3.6.1.1.5

Объединим $y^{4}$ и $\frac{| x - 4 |}{| x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}{4} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}{4}$ в виде $\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |}) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{4} \ln (\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})$ путем переноса $\frac{1}{4}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |})}^{\frac{1}{4}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Применим правило умножения к $\frac{y^{4} | x - 4 |}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{4} | x - 4 |)}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Этап 3.6.1.4.2

Применим правило умножения к $y^{4} | x - 4 |$ .

$\ln (\frac{{(y^{4})}^{\frac{1}{4}} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{4 (\frac{1}{4})} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{y^{4 (\frac{1}{4})} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{y^{1} {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} = e^{C}$ .

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Умножим обе части на ${| x |}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} {| x |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

Этап 3.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x |}^{\frac{1}{4}}} {| x |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

Этап 3.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$

Этап 3.9.4

Разделим каждый член $y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$ на ${| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Разделим каждый член $y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}$ на ${| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 3.9.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 3.9.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C} {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C {| x |}^{\frac{1}{4}}}{{| x - 4 |}^{\frac{1}{4}}}$