Математический анализ Примеры

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ на $e^{t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ на $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{t}$ и вынесем ее из знаменателя.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Этап 2.3.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{t})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Этап 2.3.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Этап 2.3.1.2.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $e^{- t}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = - t$ . Тогда $d u = - d t$ , следовательно $- d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = - t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Изменим порядок множителей в $- e^{- t} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- y e^{- t} + K y = - 1$ .

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{- t} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y e^{- t}$ .

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 e^{- t}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (- e^{- t} + K) = - 1$ на $- e^{- t} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (- e^{- t} + K) = - 1$ на $- e^{- t} + K$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $- e^{- t} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Этап 3.3.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{- t}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Этап 3.3.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Этап 3.3.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Этап 3.3.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.5.1

Перепишем $- (e^{- t} - K)$ в виде $- 1 (e^{- t} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Этап 3.3.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Этап 3.3.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Этап 3.3.4.3.5.4

Умножим $\frac{1}{e^{- t} - K}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $\frac{1}{4}$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ .

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Этап 6.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Этап 6.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1 + K, 4$

Этап 6.3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.3.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 6.3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 6.3.6

Множителем $1 + K$ является само значение $1 + K$ .

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ встречается $1$ раз.

Этап 6.3.7

НОК $1 + K$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1 + K$

Этап 6.3.8

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$4 (1 + K)$

Этап 6.4

Каждый член в $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ умножим на $4 (1 + K)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ на $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Этап 6.4.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Этап 6.4.2.3

Сократим общий множитель $1 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Этап 6.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Этап 6.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = 1 + K$

Этап 6.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $1 + K = 4$ .

$1 + K = 4$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = 4 - 1$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$K = 3$

Этап 7

Подставим $3$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $3$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$