Математический анализ Примеры

$x^{2} - (y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + (- y^{3} - 1 \cdot 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{2} + (- y^{3} - 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- y^{3} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- 2 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 = - x^{2}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2$ .

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ на $- y^{3} - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ на $- y^{3} - 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $- y^{3} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Этап 1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Этап 1.1.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 2}$

Этап 1.1.4.3.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 1 (2)}$

Этап 1.1.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3} + 2)}$

Этап 1.1.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.5.1

Перепишем $- (y^{3} + 2)$ в виде $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- 1 (y^{3} + 2)}$

Этап 1.1.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Этап 1.1.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Этап 1.1.4.3.5.4

Умножим $\frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y^{3} + 2$ .

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{3} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$(y^{3} + 2) d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{3} + 2 d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{3} d y + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + K$