Математический анализ Примеры

$x (\frac{d y}{d x}) + y = x y^{3}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Этап 1.3.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{3}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{3}$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Этап 5.5

Упростим.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 5.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 5.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Умножим $v^{\frac{1}{2}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 5.6.2.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 5.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 5.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.14

Перенесем $v^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 5.15

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Этап 5.16

Объединим $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Этап 5.17

Перепишем $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Этап 5.18

Умножим $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Этап 5.19

Возведем $v$ в степень $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Этап 5.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 5.21

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 5.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 5.23

Добавим $2$ и $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Подставим $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{2}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ умножим на $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ на $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $2 v^{\frac{3}{2}}$ из $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5

Умножим $v^{- \frac{1}{2}}$ на $v^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.5.1

Перенесем $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.6

Упростим $- 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.8

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.10

Объединим $v$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.2.1.11

Перенесем $2$ влево от $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1 \cdot 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.3.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.3.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.4

Умножим $v^{- \frac{3}{2}}$ на $v^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.4.1

Перенесем $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Этап 7.1.1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Этап 7.1.1.3.4.4

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{0}{2}}$

Этап 7.1.1.3.4.5

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{0}$

Этап 7.1.1.3.5

Упростим $- 2 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 2$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 2$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $- \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.5

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 7.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.2.3

Объединим $\frac{2}{x}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Умножим $\frac{2 v}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $- 2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 7.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 7.7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{2}} v = - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 7.7.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7.7.3.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 7.7.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 7.7.3.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{- 2} d x$

Этап 7.7.4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- x^{- 1} + C)$

Этап 7.7.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.5.1

Перепишем $- 2 (- x^{- 1} + C)$ в виде $- 2 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 7.7.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \frac{1}{x} + C$

Этап 7.7.5.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{2}{x} + C$

Этап 7.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Вычтем $\frac{2}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} = C$

Этап 7.8.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} - C = 0$

Этап 7.8.1.3

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{2}{x} - C = 0$

Этап 7.8.2

Перенесем все члены без $v$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Добавим $\frac{2}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{2}{x}$

Этап 7.8.2.2

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} + C$

Этап 7.8.3

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Этап 7.8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Этап 7.8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Этап 7.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1

Упростим $(\frac{2}{x} + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{2}{x} x^{2} + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$v = 2 x + C x^{2}$

Этап 7.8.4.2.1.3

Изменим порядок $2 x$ и $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} + 2 x$

Этап 8

Подставим $y^{- 2}$ вместо $v$ .

$y^{- 2} = C x^{2} + 2 x$