Математический анализ Примеры

$x d x + \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x d x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{y} d y = - x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ в виде $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2}}$